Filtry cyfrowe: Fear of FIR cz.1 (porady eksperta)

Filtry FIR, czyli filtry cyfrowe o skończonej odpowiedzi impulsowej, często są przez producentów/dystrybutorów przedstawiane jako panaceum na wszelkie bolączki związane z filtracją dźwięku. Czy faktycznie jest tak, że za ich pomocą można łatwo uzyskać idealne brzmienie?

Na te i inne pytania związane z filtrami FIR spróbujemy odpowiedzieć sobie w tym i kolejnym artykule traktującym o filtracji cyfrowej, ze szczególnym naciskiem na filtry FIR. Na początek trzeba jednak – bo może nie każdy wie, albo nie do końca zdaje sobie sprawę – czym jest filtracja w ogólnym pojęciu tego słowa, oczywiście w odniesieniu do filtracji dźwięku (a nie np. wody czy innych substancji).

Na czym polega proces filtracji?

Filtracja jest to, mówiąc ogólnie, proces przetwarzania dokonywany na sygnale w dziedzinie czasu, powodujący zmiany w widmie sygnału oryginalnego, czyli w dziedzinie częstotliwości. Zmiana polega na redukcji, czyli, inaczej mówiąc, na odfiltrowaniu pewnych niepożądanych składowych sygnału wejściowego – zatem filtr przepuszcza pewne częstotliwości, tłumiąc inne.

Na powyższym rysunku przedstawiono schematycznie proces filtracji w wersjach analogowej i cyfrowej. Podczas gdy filtr analogowy działa na sygnale ciągłym, filtr cyfrowy przetwarza ciąg wartości próbek dyskretnych, czyli po prostu liczby. Można więc powiedzieć, że o ile filtracja analogowa to fizyka, o tyle filtracja cyfrowa to czysta matematyka (oczywiście z podłożem fizycznym).

Filtr cyfrowy może być dedykowanym układem scalonym, programowalnym procesorem bądź programem komputerowym. Tradycyjne filtry cyfrowe występują jako jeden z dwóch typów: filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (ang. Finite Impulse Response – FIR) i filtry o nieskończonej odpowiedzi impulsowej (ang. Infinite Impulse Response – IIR).

Powszechnie panuje opinia, że filtry IIR to takie „zwykłe, proste” filtry, zaś FIR to jest już „coś”. I faktycznie coś w tym jest, bowiem filtry FIR, w przeciwieństwie do IIR, nie wpływają na fazę obrobionego przezeń sygnału – i jest to ich bodaj największa zaleta. Poza tym za ich pomocą można uzyskać duże nachylenie zboczy filtrów, ale niestety kosztem zwiększonej latencji (tym większej, im większe nachylenie i im niżej z częstotliwością chcemy zejść), wynikającą z konieczności przeprowadzenia dużej liczby operacji. Jednak, jak się okazuje, to owe „zwykłe, proste” filtry IIR są znacznie bardziej skomplikowanymi układami/algorytmami niż FIR. Jak to możliwe?

IIR

Nie wdając się zbyt głęboko w szczegóły, filtry typu IIR do uzyskania swojej odpowiedzi impulsowej potrzebują informacji „zwrotnej”, tzn. część sygnału wyjściowego trafia z powrotem na jego wejście. Takie „rekurencyjne” działanie filtru oznacza, iż jego odpowiedź impulsowa teoretycznie nigdy nie osiąga zera. Oczywiście w praktyce jest inaczej, bowiem sygnał wyjściowy w końcu spada do poziomu szumów. Biorąc jednak pod uwagę ten fakt (iż część sygnału wyjściowego trafia na wejście) filtry IIR, w przypadku ich niewłaściwego zaprojektowania, mogą być niestabilne. Co ciekawe, wszystkie filtry analogowe są filtrami typu IIR.

Przykład

Popatrzmy jak to wygląda w praktyce. Zastosujmy tradycyjny filtr analogowy, albo filtr IIR, do skorygowania charakterystyki częstotliwościowej przykładowego głośnika – jego charakterystykę amplitudową (tego filtru) przedstawia poniższy rysunek, kolejny zaś fazową.

Jak widać charakterystyka amplitudowa jest ograniczona od dołu i od góry pasma (mamy więc zastosowany filtr górno- i dolnoprzepustowy), a dodatkowo pomiędzy nimi mamy jakieś górki i dolinki, a nawet dolinkę w górce.

Każda „buła” na charakterystyce amplitudowej wiąże się z ujemnym (od wartości wyższych do niższych) przesunięciem fazowym, a więc zmianą charakterystyki fazowej, zaś każda „dziura” w charakterystyce amplitudowej niesie ze sobą zmianę charakterystyki fazowej o pozytywnym nachyleniu (od wartości niższych do wyższych). Zarówno filtracja dolnoprzepustowa, jak i górnoprzepustowa „produkują” ujemne przesunięcie fazowe. Stąd wykres zmian fazy charakteryzuje się permanentnym spadkiem (co jest związane z faktem odfiltrowania pasma w górze i dole pasma) – pamiętać bowiem trzeba, iż pionowe kreski wynikają z faktu „zawijania” charakterystyki fazowej, bowiem jest ona przedstawiana w zakresie od 180 do -180 stopni. Natomiast w części środkowej pojawiają się pewne zafalowania, odpowiadające górkom i dolinkom na charakterystyce amplitudowej.

Jak więc widać zmianom amplitudy sygnału nieodłącznie towarzyszą przesunięcia w fazie, które są nieuniknione i nieodłącznie związane z filtracją. Osoby, dla którym tematyka charakterystyki fazowej nie jest obca, są nawet w stanie przewidzieć, jak mniej więcej będzie wyglądała charakterystyka fazowa danego układu, patrząc na przebieg charakterystyki amplitudowej i vice versa. Dotyczy to jednak tylko tzw. układów minimalnofazowych, tzn. takich dla których obie charakterystyki pozostają w przewidywalnych relacjach.

Pojęcie „układu minimalnofazowego” nie oznacza bynajmniej braku przesunięć fazowych. Oznacza natomiast, iż jego charakterystyka fazowa charakteryzuje się możliwie najmniejszymi przesunięciami fazowymi towarzyszącymi zmianom charakterystyki amplitudowej. Jak wspomniałem relacje między tymi charakterystykami są przewidywalne, tak iż odpowiednie programy pomiarowe są w stanie odtworzyć przebieg jednej z tych charakterystyk na podstawie przebiegu drugiej.

Minimalnofazowość jest często bardzo pożądaną cechą filtrów. Dlaczego? Ponieważ górki i dolinki na charakterystyce amplitudowej głośnika są (przeważnie) również minimalnofazowe, jako że głośniki są (również przeważnie) układami minimalnofazowymi. Oznacza to, iż korzystając z tradycyjnych filtrów analogowych lub cyfrowych IIR (a więc minimalnofazowych) jesteśmy w stanie „naprawić” nie tylko charakterystykę amplitudową, ale również i fazową, bowiem zabiegi powodujące wygładzanie przebiegu jednej skutkują też tym samym w przypadku drugiej. Patrząc z tego punktu widzenia przesunięcia fazowe wprowadzane przez filtry nie są wcale „złem koniecznym”, ale wręcz zjawiskiem pożądanym. Dlatego też odpowiedź na pytanie „czy przesunięcie fazowe w filtrach jest dobre czy złe” – jak to przeważnie w życiu bywa – brzmi „to zależy”.

Wróćmy jednak do „dania głównego”, czyli...

Filtru FIR

Zasadniczą cechą charakteryzującą ten rodzaj filtrów jest to, że do uzyskania bieżącej próbki sygnału na wyjściu filtra wykorzystują one próbkę bieżącą i próbki przeszłe sygnału wejściowego, nie korzystając z żadnych przeszłych próbek sygnału wyjściowego – w przeciwieństwie do filtrów IIR (o czym już wspomniałem wcześniej). Z tego powodu nazywa się je czasem filtrami nierekursywnymi. Nazwa ich wzięła się stąd, że filtry te dysponując skończoną liczbą różnych od zera próbek sygnału wejściowego, na wyjściu zawsze mają skończoną liczbę próbek sygnału wyjściowego. Mówiąc prościej – jeśli na wejściu filtra FIR pojawi się nagle ciąg próbek o zerowej wartości, na wyjściu również otrzymamy ciąg, którego wartości będą równe zero. Może to wydaje się oczywiste, ale np. w filtrze IIR już tak „dobrze” nie ma. Jednakże w przypadku KAŻDEGO filtru typu FIR powyższy warunek jest ZAWSZE spełniony.

Do obliczenia wartości próbek wyjściowych, czyli aby dokonać filtracji, filtr FIR korzysta z dodawania, w podobny sposób jak to się dzieje w procesie uśredniania. Zresztą sam proces uśredniania też jest filtrem, a dokładniej filtrem dolnoprzepustowym. Ale to zupełnie inny temat. Nas w tym momencie interesuje pewna cecha filtru FIR, która sprawia, że jest on taki popularny, a często wręcz pożądany.

Liniowa faza

Filtry FIR mogą wprowadzać zmiany w przebiegu charakterystyki amplitudowej bez żadnych „efektów ubocznych” w postaci towarzyszących im przesunięć fazowych. Na rysunku poniżej przedstawiono przebieg charakterystyki fazowej odpowiadającej charakterystyce amplitudowej z rysunku, który już widzieliśmy wcześniej – różnica polega na tym, iż filtry górno- i dolnoprzepustowy zostały zastąpione przez filtry typu FIR, dające w efekcie taki sam przebieg amplitudy sygnału, jaki uzyskaliśmy za pomocą filtru IIR (albo analogowego).

Jak widać przebieg charakterystyki fazowej jest w tym przypadku linią zbliżoną do płaskiej, tzn. jej przebieg jest niezależny od częstotliwości (oprócz tych miejsc, gdzie „działają” filtry IIR, powodujące powstawanie górek i dolinek na charakterystyce amplitudowej). Stąd właśnie wzięło się określenie „liniowej fazy”, cechy charakterystycznej filtrów FIR, która pozwala dokonywać zmian amplitudy sygnału, bez żadnych zmian w fazie. Tak więc w przypadku filtrów minimalnofazowych przebiegi amplitudy i fazy są współzależne, zaś w przypadku FIR-ów są one niezależne. W filtrach FIR, patrząc na przebieg ich charakterystyki fazowej nie jesteśmy w stanie określić, jak wygląda ich charakterystyka amplitudowa – czy zastosowany filtr jest górno-, dolno- czy pasmowoprzepustowy, a może pasmowozaporowy?

„Pozbycie” się analogowych filtrów HP i LP i zlinearyzowanie przebiegu fazy pozwoliło nam też lepiej zauważyć, jaki wpływ na przebieg fazy mają wspomniane wcześniej podbicia i podcięcia na charakterystyce amplitudowej.

W drugiej części artykułu skupimy się na praktycznych zastosowaniach filtrów FIR.